Bagaimana penulisan penjumlahan berulang yang benar dari 3 x 5?

Perkalian

Terkait materi penjumlahan berulang (dari perkalian), penulisan 3 x 5 = 5 + 5 + 5. Bukankah 3 x 5 juga sama dengan 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ? Mengapa penulisan 3 + 3 + 3 + 3 + 3 disalahkan ? Sedangkan hasilnya sama saja diantara kedua penulisan tersebut ?

Perkalian pada dasarnya adalah penjumlahan yang berulang, dimana dalam perkalian terdapat dua istilah yang sering diabaikan, yaitu multiplicand dan multiplier, dimana penulisan multiplier adalah di awal dan multiplicand di akhir.

Multiplicand adalah bilangan yang sedang atau akan dikalikan dengan bilangan yang lain

Sebagai contoh, perkalian 3 x 5 terdiri dari multiplier yang bernilai 3 dan multiplicand yang bernilai 5, sehingga apabila dituliskan dalam bentuk penjumlahan berulang, maka penulisan yang tepat dari 3 x 5 adalah 5 + 5 + 5, dimana 3 x 5 mempunyai arti bahwa angka 5, sebagai multiplicand (yang dikali) dikali (multiplier) dengan angka 3.

Selain itu, kita sering terjebak dengan sifat perkalian komutatif, dimana a x b = b x a, dimana dalam konsep perkalian sebagai penjumlahan berulang merupakan hal yang berbeda dengan sifat komutatif perkalian.

Sebagai contoh, apabila dalam sifat komuntatif perkalian, 4 x 0 = 0 x 4.

Dalam konsep penjumlahan berulang, 4 x 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Lalu bagaimana dengan penulisan penjumlahan berulang untuk perkalian 0 x 4 ? Tidak akan bisa kita tuliskan penjumlahan berulangnya kan ? Oleh karena itu, untuk perkalian biasa, tidak ada yang menuliskan 0 x 4, tetapi ditulis 4 x 0. Begitu juga dengan perkalian bilangan negatif, tidak ada yang menulis (-2) x 4, tetapi ditulis 4 x (-2)

Dalam matematika, urutan merupakan hal yang sangat penting dalam perkalian karena tidak semua bentuk perkalian bersifat komutatif, misalnya ketika nanti kita belajar tentang perkalian matriks.

Untuk lebih jelas lagi mengapa penulisan 5 + 5 + 5 berbeda dengan 3 + 3 + 3 + 3 + 3 untuk perkalian 3 x 5 (dalam konteks penjumlahan berulang), kita bahas sedikit istilah matematika “sama (equal)” dan “ekuivalen (equivalent)”.

Equal dan Equivalent


Prinsip dasarnya adalah tidak semua hal yang sama (equal) adalah ekuivalen (equivalent).

Masih banyak yang beranggapan bahwa equal dan equivalent adalah hal yang sama, dimana dalam kasus perkalian diatas, mereka beranggapan bahwa tidak ada perbedaan antara 5 + 5 + 5 dan 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Kalau dalam konteks hasilnya (equal), memang tidak ada perbedaan diantara keduanya, karena keduanya sama-sama bernilai 15, tetapi persamaan 5 + 5 + 5 tidak ekuivalen dengan 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Equal mempunyai arti “sama dalam jumlah, ukuran, derajat, atau nilai”, sedangkan equivalent mempunyai arti “sama dalam nilai, jumlah, fungsi, atau makna.”

Jadi, 5 + 5 + 5 mempunyai makna yang berbeda dengan 3 + 3 + 3 + 3 + 3, walaupun mempunyai hasil yang sama. Matematika selalu berbicara tentang konteks, tidak hanya berbicara tentang hasil.

Sebagai contoh, ketika kita membeli daging di supermarket, kita bilang ke penjualnya kalau kita membeli daging sebanyak 3 kg, lalu kita minta daging tersebut dibagi kedalam 6 kantong plastik dengan berat masing-masing 500 gram. Tentunnya kita mempunyai maksud tertentu mengapa kita membaginya menjadi 6 kantong plastik bukan ?

Lalu bagaimana apabila penjualnya tidak mau menuruti permintaan kita dan membagi daging tersebut menjadi 3 kantong plastik dengan berat masing-masing 1 kg per plastik dengan dalih bahwa jumlah dagingnya sama-sama 3 kg ?

Tentu kita akan complaint ke penjual daging tersebut karena kita tidak hanya sekedar berbicara masalah jumlah, tetapi kita sudah menentukan tujuan dari membeli daging tersebut.

Begitulah perbedaan antara equal dan equivalent. Penjual daging berpikir dengan konteks equal sedangkan anda berpikir dengan konteks equivalent.

Masih banyak contoh-contoh lainnya di kehidupan sehari-hari terkait permasalahan sederhana tersebut, sehingga terjadi perdebatan atau perselisihan, karena mereka berdebat dalam konteks yang berbeda.

Matematika adalah tentang cara berpikir, bukan hanya sekedar ilmu hitung yang fokus pada hasil akhir.