Apa yang dimaksud dengan Matriks ?

matriks

(Lia Permata Sari) #1

Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Apa yang dimaksud dengan Matriks dan bagaimana aturan-aturan dasar dari matriks ?


(Ricky purnama setiawan) #2

Definisi


Definisi 1

Matriks adalah susunan persegi panjang atau persegi dari bilanganbilangan atau variabel. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

image

dimana π‘Žπ‘–π‘— menyatakan entri yang terdapat dalam baris i dan kolom j pada matriks A.

Matriks kolom (vektor kolom) adalah matriks yang terdiri dari satu kolom dan n baris, sedangkan yang disebut dengan matriks baris (vektor baris) adalah matriks yang terdiri dari satu baris dan k kolom

Catatan : Penulisan matriks menggunakan huruf tebal dan kapital

Definisi 2

Dua matriks 𝑨 = [π‘Žπ‘–π‘—] dan 𝑩 = [𝑏𝑖𝑗] dikatakan sama (𝑨 = 𝑩 ) jika dan hanya jika keduanya memiliki orde yang sama dan semua elemen yang bersesuaian (seletak) sama, yaitu jika dan hanya jika π‘Žπ‘–π‘— = 𝑏𝑖𝑗 ( 𝑖 = 1,2, … , π‘š ;𝑗 = 1,2, … , 𝑛)

image

Definisi 3

Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan orde sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang bersesuaian, dan selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang bersesuaian.

Matriks-matriks dengan orde berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan.

image

Definisi 4

Jika A adalah suatu matriks dan k adalah sebarang skalar, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

Penulisan dalam notasi matriks jika 𝑨 = [π‘Žπ‘–π‘—], maka (π‘˜π‘¨)𝑖𝑗 = π‘˜(𝑨)𝑖𝑗 = π‘˜π‘Žπ‘–π‘—

image

Definisi 5

Jika A adalah sebuah matriks π‘š π‘₯ π‘Ÿ dan B adalah sebuah matriks π‘Ÿ π‘₯ 𝑛, maka hasil kali AB adalah matriks π‘š π‘₯ 𝑛 yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut ; untuk mencari anggota dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B, kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya yang dihasilkan.

Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa banyak kolom faktor pertama A sama dengan banyak baris faktor kedua B untuk membentuk hasil kali AB. Jika syarat ini tidak terpenuhi, hasil kalinya tidak terdefinisi.

image

Elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks AB adalah

image

image

Definisi 6

Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan dengan AT dan didefinisikan dengan matriks n x m dengan menukar baris dan kolom matriks

image

Jenis Matriks


Matriks persegi, adalah suatu matriks dengan banyaknya baris m sama dengan banyaknya kolom n (m=n) untuk semua matriks A . Jika m=n, maka A disebut matriks persegi orde n.

image

Matriks identitas, adalah suatu matriks dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen-elemen lainnya bernilai nol. Biasanya matriks ini diberi simbol I.

image

Matriks simetris. Jika matriks 𝑨 = [π‘Žπ‘–π‘—] , i,j = 1,2,…,n (A merupakan matriks persegi) dan π‘Žπ‘–π‘— = π‘Žπ‘—π‘– , maka A disebut matriks simetris. Matriks simetris juga dapat didefinisikan sebagai matriks persegi yang simetris terhadap diagonal utamanya. Matriks simetris identik dengan transposnya (𝑨′ = 𝑨 atau π‘Žπ‘–π‘— = π‘Žπ‘—π‘– ). Untuk suatu matriks B orde π‘šπ‘₯𝑛, 𝑩𝑩′ dan 𝑩′𝑩 simetris dengan orde π‘š π‘₯ π‘š dan 𝑛 π‘₯ 𝑛.

Matriks diagonal, adalah suatu matriks dengan elemen-elemen selain pada diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan 0.

image

Matriks nol, adalah suatu matriks dimana semua elemen mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol 0. Jika A adalah sebarang matriks dan 0 adalah matriks nol dengan orde sama, maka A+0= A.

image

Matriks Skalar. adalah adalah suatu matriks dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai sama dan tidak bernilai 0 atau 1, serta elemen-elemen lainnya bernilai nol.

image

Matriks Segitiga. Matriks segitiga dibagi menjadi dua yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas adalah adalah suatu matriks dengan elemen-elemen pada diagonal dan atasnya mempunyai nilai sedangkan lainnya bernilai 0. Matriks segitiga bawah merupakan kebalikan dari matriks segitiga atas.

image
Gambar Matriks segitiga atas

image
Gambar Matriks segitiga bawah

Teorema Matriks


Teorema 1

Untuk matriks-matriks A, B dan skalar k , berlaku sifat-sifat transpos matriks sebagai berikut :

  • (𝑨′)β€² = 𝑨
  • (𝑨 Β± 𝑩)β€² = 𝑨′ Β± 𝑩′
  • (π‘˜π‘¨)β€² = π‘˜π‘¨β€², dengan k adalah sebarang skalar
  • (𝑨𝑩)β€² = 𝑩′𝑨′

Teorema 2 : Determinan Matriks

Determinan Matriks : Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri π‘Žπ‘–π‘— dinyatakan dengan 𝑀𝑖𝑗 dan didefinisikan sebagai determinan submatriks 𝑨 setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari faktor A. Bilangan (βˆ’1)1+𝑗𝑀𝑖𝑗 dinyatakan sebagai 𝐢𝑖𝑗 dan dinamakan kofaktor entri π‘Žπ‘–π‘— .

Determinan matriks 𝑨 yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 ≀ 𝑖 ≀ 𝑛 dan 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛, maka:

image

(perluasan kofaktor disepanjang kolom ke-j) dan

image

Berdasarkan sifat determinan matriks, dapat diturunkan definisi matriks singular dan matriks nonsingular sebagai berikut:

  • matriks singular yaitu jika suatu matriks A, determinannya sama dengan nol atau det(𝑨) = 0 maka matriks yang demikian disebut sebagai matriks singular,

  • matriks nonsingular yaitu jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol atau det(𝑨) β‰  0.

Teorema 3 : Invers Matriks

Invers dari suatu matriks persegi A didefinisikan sebagai π‘¨βˆ’1 yang memenuhi persamaan berikut:

image

Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

image

π‘Žπ‘‘π‘—(𝑨) merupakan transpos dari matriks kofaktor yang terbentuk dari matriks A.

Teorema 4

Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi dengan orde sama dan memiliki invers, maka:

  • (π‘¨βˆ’1)β€² = (𝑨′)βˆ’1
  • (𝑨𝑩)βˆ’1 = π‘©βˆ’1π‘¨βˆ’1

Teorema 5

Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka:

  • π‘¨βˆ’1 dapat dibalik dan (π‘¨βˆ’1)βˆ’1 = 𝑨
  • Untuk sebarang skalar k yang tidak sama dengan nol, matriks kA dapat dibalik dan (π‘˜π‘¨)βˆ’1 = 1/k π‘¨βˆ’1